Introduction -- Curves -- Additional topics in curves -- Surfaces -- The curvature of a surface -- Geodesics -- The Gauss-Bonnet theorem -- Appendix A: The topology of subsets of Rn -- Recommended excursions -- Index.

This is a textbook on differential geometry well-suited to a variety of courses on this topic. For readers seeking an elementary text, the prerequisites are minimal and include plenty of examples and intermediate steps within proofs, while providing an invitation to more excursive applications and advanced topics. For readers bound for graduate school in math or physics, this is a clear, concise, rigorous development of the topic including the deep global theorems. For the benefit of all readers, the author employs various techniques to render the difficult abstract ideas herein more understandable and engaging.

Over 300 color illustrations bring the mathematics to life, instantly clarifying concepts in ways that grayscale could not. Green-boxed definitions and purple-boxed theorems help to visually organize the mathematical content. Color is even used within the text to highlight logical relationships.

Applications abound! The study of conformal and equiareal functions is grounded in its application to cartography. Evolutes, involutes and cycloids are introduced through Christiaan Huygens' fascinating story: in attempting to solve the famous longitude problem with a mathematically-improved pendulum clock, he invented mathematics that would later be applied to optics and gears. Clairaut’s Theorem is presented as a conservation law for angular momentum. Green’s Theorem makes possible a drafting tool called a planimeter. Foucault’s Pendulum helps one visualize a parallel vector field along a latitude of the earth. Even better, a south-pointing chariot helps one visualize a parallel vector field along any curve in any surface.

In truth, the most profound application of differential geometry is to modern physics, which is beyond the scope of this book. The GPS in any car wouldn’t work without general relativity, formalized through the language of differential geometry. Throughout this book, applications, metaphors and visualizations are tools that motivate and clarify the rigorous mathematical content, but never replace it. Taken from the publisher's website

Este es un libro de texto sobre geometría diferencial muy adecuado para una variedad de cursos sobre este tema. Para los lectores que buscan un texto elemental, los requisitos previos son mínimos e incluyen muchos ejemplos y pasos intermedios dentro de las pruebas, al tiempo que brindan una invitación a aplicaciones más complejas y temas avanzados. Para los lectores con destino a la escuela de posgrado en matemáticas o física, este es un desarrollo claro, conciso y riguroso del tema, incluidos los teoremas globales profundos. Para beneficio de todos los lectores, el autor emplea varias técnicas para hacer más comprensibles y atractivas las difíciles ideas abstractas contenidas en este documento.

Más de 300 ilustraciones en color dan vida a las matemáticas, aclarando conceptos instantáneamente en formas que la escala de grises no podría. Las definiciones en recuadro verde y los teoremas en recuadro púrpura ayudan a organizar visualmente el contenido matemático. El color incluso se usa dentro del texto para resaltar las relaciones lógicas.

¡Las aplicaciones abundan! El estudio de las funciones conformales y equiáreas se basa en su aplicación a la cartografía. Evolutas, involutas y cicloides se introducen a través de la fascinante historia de Christiaan Huygens: al intentar resolver el famoso problema de la longitud con un reloj de péndulo mejorado matemáticamente, inventó las matemáticas que luego se aplicarían a la óptica y los engranajes. El teorema de Clairaut se presenta como una ley de conservación del momento angular. El teorema de Green hace posible una herramienta de dibujo llamada planímetro. El péndulo de Foucault ayuda a visualizar un campo vectorial paralelo a lo largo de una latitud de la tierra. Aún mejor, un carro que apunta al sur ayuda a visualizar un campo vectorial paralelo a lo largo de cualquier curva en cualquier superficie.

En verdad, la aplicación más profunda de la geometría diferencial es la física moderna, que está más allá del alcance de este libro. El GPS de cualquier automóvil no funcionaría sin la relatividad general, formalizada a través del lenguaje de la geometría diferencial. A lo largo de este libro, las aplicaciones, metáforas y visualizaciones son herramientas que motivan y aclaran el contenido matemático riguroso, pero nunca lo reemplazan. Tomado de la página Web del editor